Es una falla muy curiosa, muy extraña la que mencionas. Se me ocurren que podes probar 2 cosas para intentar dar con el origen del problema:
1) Acceder al modo de auto-diagnostico y realizar todos los test para ver si se detecta algún error. Hay un tema en el foro que explica como acceder al menú de auto-diagnostico de una Yamaha FZ6. En tu caso entiendo que tenes una FZ6R (nombre con el que se conoce en Estados Unidos) que se conoce acá en Argentina como XJ6. Desconozco si el procedimiento de acceso al menú desde el tablero es igual o existe alguna variante. Te dejo el tema, y verifica si te sirve:
https://yamahafz6.foroargentina.net/t178-codigos-de-diagnostico-modo-diagnostico-fz6-fazer-6002) El tanque de combustible debería tener en la parte superior, donde tiene la abertura de recarga, una ventilación para evitar que se genere vacío dentro del tanque cuando la bomba proporciona combustible al motor. Tal vez podría estar obstruido este conducto de ventilación, impidiendo que ingrese aire, con la posibilidad que se genere vacío luego de circular algunos minutos, y ahí el origen del problema. Seria cuestión de examinar esta ventilación y eventualmente asegurarse que se encuentra libre para el pasaje de aire.
Es algo medio rebuscado, pero bueno, cuando no se tiene idea de por donde buscar el problema, y ya se han probado la alternativas mas razonables, hay que seguir buscando por lo menos pensado.
Vemos como sigue la historia.